[i=s] 本帖最后由 等电子的氯 于 2009-6-8 22:36 编辑 [/i]
其实是我自己闲着无聊做的……
Time: 40min 正确率: 不保证- -
P.S.没做出最后一小问……
试卷的图片版地址在此：http://edu.qq.com/a/20090607/000362.htm
经过我和母校同学确认就是这个。
一、选择题：ABDCD DDABC DA
(1)(2)超级基础题
(3)特殊值法
(4)(9)设未知数用导函数求解
(5)3*5*C(2,6)+2*6*C(2,5)=15*15+12*10=345
(6)(a-c)·(b-c)=a·b-(a+b)·c+c^2=1-(a+b)·c
(7)画图，余弦定理
(8)把点带进去，配合图像一目了然
(10)画图，一目了然
(11)特例f(x)=sin(pi/2*(x+1))
(12)设未知数，平行线等分线段定理，代数思想
二、填空题：-240 24 20π -8
(13)超级基础 (14)特殊值 (15)画图加勾股定理 (16)导数的应用
三、解答题
(17：三角函数)
余弦定理：b^2+2b=b^2+a^2-c^2=2abcosC => b+2=2acosC
余弦定理：b^2-2b=b^2-a^2+c^2=2cbcosA => b-2=2ccosA
正弦定理：sinAcosC=3cosAsinC => acosC=3ccosA
∴b+2=3(b-2) => b=4.
(18：立体几何)
(I)
设M到底面的投影为N(显然N在DC上),DN=x.
则AM^2=AN^2+MN^2=AD^2+DN^2+MN^2=2+x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+6
BM^2=BN^2+MN^2=BC^2+CN^2+MN^2=2+(2-x)^2+(2-x)^2=2x^2-8x+10
余弦定理：AB^2+BM^2-AM^2=2AB·BMcosB
即4+2x^2-4x+6-2x^2+8x-10=2×2·sqrt(2x^2-8x+10)×(1/2)
整理得2x=sqrt(2x^2-8x+10)解得x=1.
[其实证明题不用算也知道x=1, 写上即可.]
∴N是DC中点 => M是SC中点.
(II)
以D为原点建系.
S(0,0,2), A(sqrt(2),0,0), M(0,1,1), B(sqrt(2),2,0).
易得面SAM方程: x*sqrt(2)+y+z-2=0 其法向量n1=(sqrt(2),1,1)
面AMB方程: x*sqrt(2)+2z-2=0 其法向量n2=(sqrt(2),0,2)
设其二面角为t, 则sint=cos|n1、n2夹角|=(n1·n2)/(|n1||n2|)=sqrt(6)/3
由图像得t为锐角, ∴t=arccos(sqrt(6)/3).
(19: 概率统计)
(I)
甲获胜的概率=甲连胜两局的概率+甲在接下来两局中胜某一局再接着胜一局的概率
P=p^2+2pq*p=0.648
(II)
ξ 2 3
P 0.52 0.48
p^2+q^2 2pq*p+2pq*q
Eξ=2*0.52+3*0.48=2.48
(20: 数列)
(I)
等式两边同除以(n+1),得a[n+1]/(n+1)=a[n]/n+1/2^n.
即b[n+1]-b[n]=1/2^n.
∴b[n]=(b[n]-b[n-1])+...+(b[2]-b[1])+b[1]=1/2^(n-1)+...+1/2+1=2-2^(1-n).
(II)
Σa[k]=2Σ(k-k/2^k)=2Σk-2Σk/2^k=n(n+1)+2Σk/2^k.
记F[n]=Σk/2^k=1/2+2/4+3/8+...+n/2^n,
则F[n]/2=1/4+2/8+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1).
作差, 得F[n]/2=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n-n/2^(n+1)=1-(n+2)/2^(n+1).
∴F[n]=2-(n+2)/2^n => Σa[k]=n(n+1)+2Σk/2^k=n(n+1)+4-(n+2)/2^(n-1).
(21: 解析几何)
(I)
r取其临界最小值({r}的下确界), 圆恰好内切与抛物线.
考虑x轴及其上方的情况, 设切点为T(t,sqrt(t)).
抛物线y^2=x => y=sqrt(x) => y'=1/(2sqrt(x)).
∴x0点处切线斜率为1/(2sqrt(t)), 方向向量(切向量)为(1,1/(2sqrt(t))).
圆的半径向量(法向量)为(t-4,sqrt(t)).
切向量与法向量垂直 => 二者内积为零 => t-4+1/2=0 => t=7/2.
∴T(7/2,sqrt(14)/2),r>|MT|=sqrt(15)/2.
∴r的取值范围为(sqrt(15)/2,+∞).
(II)
设A、D的横坐标分别为p、q.
将二方程联立, 消去y, 解得A、D的横坐标.
p=(7-sqrt(4r^2-15))/2, q=(7+sqrt(4r^2-15))/2.
四边形ABCD的面积S=(sqrt(p)+sqrt(q))(q-p).
代入p与q, 将上函数对r求导并让导数为零解得r=sqrt(527)/6
代入得p=7/2-7sqrt(2)/3, q=7/2+7sqrt(2)/3.
解得BD斜率k=sqrt(42)/14.
代入BD的点斜式方程并令y=0得x=7/6.
(22: 微积分初步)
(I)
极值点导数为零.
f'[x]=0 => 3x^2+6bx+3c=0 => x^2+2bx+c=0
解得x1=-b-sqrt(b^2-c), x2=-b+sqrt(b^2-c)
∴-1<-b-sqrt(b^2-c)<0, 1<-b+sqrt(b^2-c)<2.
先求边界条件, 得到四条直线:
c=2b-1, c=0, c=-2b-1, c=-4b-4.
所以(b,c)的区域就是这四条直线围成的四边形.
D={(b,c)|c>2b-1,c<0,c<-2b-1,c>-4b-4}.
(II)
即为求f[x2]=f[-b+sqrt(b^2-c)]在区域D上的最值.
代入c=2b-1得f[x2]=f[-2b+1]=(b-2)(2b-1)^2在b∈[-1/2,0]上值域为[-10,-2].
代入c=0得f[x2]=f[-2b]=4b^3在b∈[-1,-1/2]上值域为[-4,-1/2].
代入c=-2b-1得f[x2]=f[1]=-3b-2在b∈[-1/2,0]上值域为[-2,-1/2].
代入c=-4b-4得f[x2]=f[2]=-4(3b+4)在b∈[-1,-1/2]上值域为[-10,-4].
因此f[x2]在D的边界上的值域为[-10,-1/2].
接下来的思路：
求f[x2]在D内部的值域并证明其为[-10,-1/2]的子集.
我本来想用多元微积分里Hessian来搞的, 结果出来子式为零, 我就不知道怎么继续了.
氯氯评论：
比去年全国I简单多了……
如果我高考做这个，还有一个多小时的时间检查，再有错应该也挑出来了。
这样的话，放弃最后一问，如果前面都对，就有145以上了……
后悔早上学……泪奔= =