关于行列式怎么求，请看
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/matrixdet/
再说一些什么是度量矩阵： n 维欧氏空间中取n 个（线性无关的）向量，把每个向量的坐标都写成列向量的形式，然后合并在一起，就是一个n*n 的矩阵 A。 A 称为坐标变换矩阵，A 的行列式就是这n 个向量张成的体积。
有时，A 本身并不知道，比如三斜晶胞那三个向量，只知道向量的长度和相互夹角，不容易直接写出向量的坐标，所以也不容易写出A. 这时可以稍微变通一下。定义A 的转置矩阵是A^T, 那么度量矩阵G=A^T*A. 很显然，G 的第i 行第j 列是第i 个向量与第j 个向量的内积，所以对于三斜晶胞，可以不用思考，直接写出G. G 的行列式是A 的行列式的平方，所以对G的行列式开根号就得到了体积。
如果不熟悉这些工具，可以先取 n=2, 用平面上两个向量做例子，很容易就理解了。
对G的行列式开根号就得到了体积。
是什么意思？
膜拜6L，完全看不懂。。。
打个比方，最简单的，比如平面上两个向量v1,v2, 长度分别是1，2，夹角是a，请问v1，v2 张成的平行四边形面积是多少？这个当然可以立刻报出答案，但我们用上面的行列式法来算。
此时，<v1,v1>=1, <v1,v2>=2 cos(a), <v2,v2>=4, <,> 表示内积，所以此时G 就是2×2 矩阵
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G 的行列式是4-4 cos(a)^2=4 sin(a)^2. 开根号是2 sin(a), 这个结果就是平行四边形的面积。
2维时用行列式算当然是没有必要，但3维时这样算已经远比直接的向量分析快，3维以上时行列式算体积几乎是唯一的办法。
宇宙学真是强人啊……线代只考70分的人羞愧爬走……
学习了，受教了……