【数学】一个关于产生随机散点的问题...|资料文献

只看楼主倒序阅读楼主发表于: 2009-05-28

[i=s] 本帖最后由 CasperVector 于 2009-5-29 21:59 编辑

［本魂认为本问题（虽然不一定算很难，但）应该算是有一点深度的问题，故将其发在这里而非“新手提问”版。］

本魂在Plot4D的一个备用计划中遇到以下问题：
在直角坐标系中尺寸为a×b×c的长方体区域D内随机产生n个散点，要求其均匀各向同性（在D中体密度相同、在个方向上的线密度相等）地分布在D中。

[1]

为了实现此目的，本魂设计了以下方法：
分别在x、y和z被要求的定义域内产生一次随机数x₀、y₀和z₀，将它们组合产生一个坐标。重复以上过程共n次，输出结果。

[2]

以上方法产生的散点集合P应该是均匀的；然而，它们一定是各向同性的吗？

将D的尺寸限制为1×1×1时，点集P显然应该是均匀各向同性的。因此，从产生随机数的原理来看，有以下结论：
在a×b×c的D中产生的点集P'就相当于将在1×1×1的D中产生的点集P做一次缩放变换。

[3]

于是，问题[1]转化为以下的问题：
本来均匀各向同性的点集P在缩放变换之下还能保持各向同性吗？

[4]

显然，从直觉上是难以接受将一个均匀各向同性的物体在各方向上不均等地均匀拉伸之后仍能各向同性的。然而，通过用数学软件作图，可以直观地发现对问题[4]的回答似乎是肯定的。

那么，点集P在缩放变换下到底能不能保持各向同性？（本魂相信，这是可以的。）
如果能，如何证明？又是什么造成了我们直觉的“失效”？（这个就要靠大家了...）