啊啊．．对数题都不懂．只好又来问了．．． [复制链接]

我都不会...

问问题总比发纯水强吧....

哪个高人把余下的两题一起解决了....

我不会。..

原帖由 钻石guppy 于 2008-7-29 23:41 发表
2.设a,b,c为正数,且满足a²+b²=c².
⑴求证log₂(1+(b+c)/a)+log₂(1+(a-c)/b)=1;⑵若log₄(1+(b+c)/a)=1.log₈(a+b-c)=2/3,求a.b.c的值
3.设x>1,y>1,且2log_xy-2log_yx+3=0,求T=x²-4y²的最小值.

我来
咱开学就高二，不能掉这份儿。
2.
(1)用分析法
欲证：log₂(1+(b+c)/a)+log₂(1+(a-c)/b)=1
即证：[1+(b+c)/a][1+(a-c)/b]=2
即：(b+c)(a-c)/ab+(b+c)/a+(a-c)/b=1
则：(b+c)(a-c)+(b+c)b+(a-c)a=ab
故：左=ab-bc+ac-c²+b²+bc+a²-ac=ab-c²+b²+a²
因为：a²+b²=c²
所以：上式=ab=右
即所谓：log₂(1+(b+c)/a)+log₂(1+(a-c)/b)=1
证毕。
(2)log₄(1+(b+c)/a)=1即1+(b+c)/a=4则b+c=3a
log₈(a+b-c)=2/3即a+b-c=4
又a²+b²=c²
连立解得：
a=6,b=8,c=10
解毕

[ 本帖最后由 六只正在飞的羊 于 2008-7-30 01:59 编辑 ]

等会我解完第三题

恩。

3
对原式换底得
2lny/lnx-2lnx/lny=-3
则(ln²y-ln²x)/lnxlny=-1.5
即ln²y-ln²x+1.5lnxlny=0
换元，令a=lnx,b=lny
a²-1.5ab-b²=0
(a-2b)(a+0.5b)=0
即lnx=2lny或lnx=-0.5lny
因为x>1,y>1
故舍去lnx=-0.5lny
则x=y²
则y=x^0.5

故T=x²-4x(x>1)
所以，当x=2时,即y=2^0.5,x=2时，T取最小值为-4

答：T的最小值为-4.
解毕

[ 本帖最后由 六只正在飞的羊 于 2008-7-30 02:12 编辑 ]

这三道题都不太难，但是需要些技巧和熟练，最重要的是计算能力。遇到对数对称式就要想到换底然后换元，我一般换作自然对数，然后换元。通过这样导出原来的未知数的关系，这样就好求了。对数的运算和性质一定要熟，这样才能保证做这种题的时候不慌乱。另外，注意1=log_aa(a>0)，0=log_a1(a>0)两个非常有用的代换，有时候会有奇效。
因为手头没有纸和笔，三道题的计算我都是心算的，错了好几次，看来以后还得训练。这三道题在有纸笔的条件下，一般初中生需要20分钟，高中生需要12分钟，假如你想做数学尖子，这三道题的用时在初中阶段应该控制在10分钟左右，高中阶段应该在6分钟左右。在完全心算的条件下，30分钟做完即可。我因为有点困以及编辑那帖子的缘故，花了一个多小时才搞定这三道题，说来有些惭愧，还是欠训练。

[ 本帖最后由 六只正在飞的羊 于 2008-7-30 02:10 编辑 ]

最后建议题目归档以备其他同学参考。

恩