狄拉克符号之美 [复制链接]

关于美是什么的论题，历史上有诸多不同见解，至今也没有定论，然而从最朴素的直觉出发，美是能给人以感情的寄托和精神的充实和愉悦的事物，是某种和谐的存在。而在科学方面，追求和谐的理念集中体现在“奥卡姆剃刀原则”，即“如无必要，勿增实体”。有基于此，简单性和对称性作为通向和谐和真理的重要途径，历来为科学工作者所孜孜以求：从古希腊关于地球是球体、毕拉哥拉斯的黄金分割率理论到近代的曰心说、行星运动三定律，现代的量子力学、相对论理论，无一不是追求简约工作的结晶。作为量子力学的标准语言，狄拉克的符号法在量子理论方面早已得到广泛应用，而后继理论工作的深入拓展也相当程度上实现了他的期望：“在将来它（符号法）变得更为人们所了解，而且它本身的数学得到发展之时，它将更多地被人们所采用。”（1）

狄拉克符号法的美是毋庸置疑的，然而首先不得不承认的一点是它首要的美，即它带给人的如闻天籁的喜悦的源泉是不可言说的：这正是所谓的“大音希声，大象希形”。这一事实的本质原因在于不同人的经历、底蕴、物理直觉各不相同——这同时也是美之难以定义的一大原因。海森堡这样描述他创立量子力学时的感受：“我窥测到一个异常美丽的内部，当想到现在必须探明自然界如此慷慨地展开在我面前的数学结构的这一宝藏时，我几乎晕眩了。”（2）狄拉克也承认：“我和薜定谔都极为欣赏数学美，这种对数学美的欣赏支配了我们的全部工作。”（3）但时代的特定性和大师的天才决定了后世人身上难以重现那种得以窥得天机，创立一个自洽的理论体系的激情，而他们对量子力学美的认识相应也将有所不同，如朗道曾感叹自己生不逢时，未能为量子理论的原创工作做出贡献，而他对其中之美的感受自当不同或说不如，而一般人则更加难以体会。这与欣赏名画有些相似：内涵深刻的作品将立刻给人鲜活的第一印象。看到毕加索的名作“格尔尼卡”，战争的悲剧将通过种种扭曲的意象迅速攫取你的心，梵高的“星夜”则给人以挺拔向上之感，然而这些美感通常只在第一次见到画作时才有最深刻的体验，也只有具备一定修养，懂得如何欣赏之人方能领会。

本质性的美同时也是无法向他人传达的。美感有时类似于灵感，只有在特定状况下才能产生。当公式的推导终于成功，或是忽然看懂一种繁难的理论，那一时刻的强烈感受不仅难以重现，也是不可转述的。晚唐的贾岛是有名的苦吟诗人，和韩愈共同推敲“僧敲夜下门”之句并结为忘年交之事自古传为佳话，然而他还有一句更是苦吟了数年：“独行潭底影，数息树边身”。对于此句他自称“二句三年得，一吟双泪流。知音如不赏，归卧故山秋”，然而后世却有人认为此句“有何难吟”，稀松平常。这里自然也有文化底蕴的差别，但美感之难以传递也是极重要的原因，是以诗人自己也说“知音”方才能赏。

因此，对狄拉克符号法的美的讨论存在某种局限性，且通常只能针对个别、表层的特点——大概这也可以称之为“表象”，即其本质之美的外在体现。

那么符号法的美究竟体现在何处？

首先，作为物理学的重要分支，符号法将q数的对易关系与经典力学泊松括号类比，从而建立了量子力学与经典力学的对应关系，揭示了自然规律的简洁性。同时，它将矩阵力学纳入哈密顿公式体系，从而很好地统一了之前的薜定谔表象和海森堡表象：两种学派曾因不同的数学形式争论不休，后来薜定谔发现它们是殊途同归的，而狄拉克则运用他的符号法所建立的变换理论使这一证明变得优美凝练。此外，狄拉克坚信符号法的特殊数学能够继续发展并得到更广泛的应用，而事实上这一点已经部分地由范洪义教授的IWOP方法实现。纵观人类科学发展史，每一个重要的理论体系无不为其后继理论留下相当的拓展空间，如牛顿力学之于理论力学，狭义相对论之于广义相对论，符号法良好的拓展性同样使它得以而且必将成为一个完备、严整的理论体系。

同时，符号法给以强烈的数学美感。狄拉克坦陈数学美“是我们的一种信条，相信描述自然界的基本规律的方程都必定有显著的数学美”（4）。与此相应地，历史上狄拉克有好几次慢于其他科学家做出重要工作，然而同样的结论，狄氏的文章往往更注重数学的简洁，也就是杨振宁先生所说“秋水文章不染尘”（5）。符号法关于物理抽象的表述，态矢的归一化及薜氏，海氏表象的统一无不体现着这些特点。如果按杨的说法，数学与物理犹如两片向不同方向生长的树叶，大多不重叠，只有末端有一小块重叠，那么狄拉克对于这一小部分无疑拥有极敏锐的洞察力。这也使得他的符号法得以“性灵出万象，风骨超常伦”（6）。

符号法的美还表现在对事物本质的描述之中：它在概念上与哲学颇有关联。这一相通集中地体现在表象与本质的定义上。西方经典哲学认为事物背后存在本质，本质通过表象部分地呈现出来，而本质本身并不为人所见，只能通过表象对它加以认识；任何对本质的认识都是不全面的，即相对真理；真正完善、全面的认识（绝对真理）不可达到。符号法中的表象同样是作为认识事物的本质（体系状态）的方式而存在，态矢本身是抽象的、本质的，它的物理意义只有具体投影到某一特定表象，才能为人们加以观察。这与老子哲学也有一定相似之处：老子认为“道”是客观世界自然法则和万物物质实体的总和，具有形而上的特点，没有确切的形体，无法用感官去直接感触：“视之不见……听之不闻……搏之不得”（7）；“道”是一种永恒的存在，它是世间万物的本原：“可以为天地母”（8），“渊兮，似万物之宗”（9）；“道”作用于外界，产生纷繁芜杂的现象（表象）：“道生一，一生二，二生三，三生万物”（10），因此具有无穷的潜在力和创造力，是自然界生命活力的象征。态矢是否也与“道”有些相似之处呢？

下面再谈一谈符号法的通感美。通感是自然科学之美的重要形式，科幻小说里对于仪器的描述：“温暖的电流在一瞬间流遍了那巨大的躯体……在它的电子意识中，整个世界是极其简单的。”（11）就是典型的通感。对符号法而言，通感之美首先表现在它与诗歌的相似性上：它们都追求简单、和谐与对称，是特定时刻的灵感结晶。薜定谔就是一个很好的诗人，他把荷马史诗译成英文，自己会用德、英文写诗，还出版过诗集。而狄拉克对数学之美有一种特殊的执著，这使得他的符号法逻辑严密，论述清晰，如诗歌般工整美丽。同时，物理学家与诗人往往都是富于想象力的理想主义者，愿意为追寻梦想奉献一生。诗人苦吟而至于“吟安一个字，捻断数根须”，这与物理学家为推导公式、完善理论而数十年如一曰地努力，甚至夜不能寐、寝食难安何等相似！符号法的尘埃落定，无疑也是“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”。

符号法被杨振宁先生评价为“用了简单清楚的逻辑推理，经过他的讨论以后，你就觉得非这样不可。”“他的每一步跟着下一步，都有他的逻辑，而他的逻辑与别人的逻辑不一样，但是非常富有引诱力，跟着他一走以后，你就觉得非跟着他走不可。”（12）正是这种鲜明的层次感和循循善诱的推理最后导致简洁的理论和诸多方面的应用，使大量问题得到妥善的解决。这个过程立刻令人想起刘鹗《老残游记》里对说书的描写（请恕我全段引用，否则难以尽显其妙）：

“王小玉便启朱唇，发皓齿，唱了几句书儿。声音初不甚大，只觉入耳有说不出来的妙境：五脏六腑里，像熨斗熨过，无一处不伏贴；三万六千个毛孔，像吃了人参果，无一个毛孔不畅快。唱了十数句之后，渐渐的越唱越高，忽然拔了一个尖儿，像一线钢丝抛入天际，不禁暗暗叫绝。那知他于那极高的地方，尚能回环转折。几啭之后，又高一层，接连有三四叠，节节高起。恍如由傲来峰西面攀登泰山的景象：初看傲来峰削壁千仞，以为上与大通；及至翻到傲来峰顶，才见扇子崖更在傲来峰上；及至翻到扇子崖，又见南天门更在扇子崖上：愈翻愈险，愈险愈奇。那王小玉唱到极高的三四叠后，陡然一落，又极力骋其千回百折的精神，如一条飞蛇在黄山三十六峰半中腰里盘旋穿插。顷刻之间，周匝数遍。从此以后，愈唱愈低，愈低愈细，那声音渐渐的就听不见了。满园子的人都屏气凝神，不敢少动。约有两三分钟之久，仿佛有一点声音从地底下发出。这一出之后，忽又扬起，像放那东洋烟火，一个弹子上天，随化作千百道五色火光，纵横散乱。这一声飞起，即有无限声音俱来并发。那弹弦子的亦全用轮指，忽大忽小，同他那声音相和相合，有如花坞春晓，好鸟乱鸣。耳朵忙不过来，不晓得听那一声的为是。正在撩乱之际，忽听霍然一声，人弦俱寂。这时台下叫好之声，轰然雷动。”（13)

这一段精辟的描写若用以形容符号法是何等贴切，传神！符号法与文学作品的通感之美实已尽现其中，毋须多言。

符号法与音乐。毕达哥拉斯认为美妙的音乐之所以动人心弦，是因为它符合数学的规律，是数学和谐的反映，而符号法亦如此，狄拉克更认为创作符号法之时，数学美对我们像是一种宗教。信奉这种宗教是有益的。这是我们多次成功的基础。（14）这种创作方式令人联想到亨德尔和他的清唱剧《弥赛亚》。罗曼·罗兰说他是“蘸着泪水挥毫的”，因为他创作时沉浸在激情之中，二十四天不出房门一步，而写到《哈利路亚》大合唱时，更是感动得泪水如注，跪倒在地双手向天喊着“我看见天国了，看见耶酥了！”后来即使他双目失明，也常独自在管风琴上弹奏此曲，而此曲的公演使英王感动得站立致敬，于是全场起立，并由此传下《哈利路亚》必须站立聆听的不成文规定。《弥赛亚》是清唱剧的集大成者，对谐律近乎完美的运用创造出了“其他作曲家从来也做不到的绝妙的宏伟效果”（柴可夫斯基语），而符号法的创作理念、狄拉克对符号法的钟爱乃至科学界对符号法的反应的确有相当的相似：它雄浑瑰丽而浑然天成，集诸多过往理论于一体，使人们更加接近真理的所在，从而给人以强烈的震撼乃至深刻的感动。

符号法与艺术。艺术崇尚减法，该有则有该无则无，将多余的地方剔除，凸显能够体现艺术之处，从而达到“增之一分则肥，减之一分则瘦”的效果。米罗的维纳斯至简而成珍品，人们无法为她装上双臂正因于简洁凝练之处有所不如；摄影需要从复杂的环境中减出深刻的部分，曾获得普利策奖、反响巨大而争议广泛的“秃鹫与幼童”相无疑是其中典范；中国画有状梅兰竹菊之传统，其中竹最为难画，以其修长挺拔而苍遒有力，简约凝练且可与君子之清高正直相比，气质最是独特——相传郑板桥为领悟竹之气势，夜间在月下临摹竹影而终自成一家；他的《兰竹图》作为竹画典范集中体现了上述特点。符号法之简练正与艺术相通。

狄拉克曾说：“让方程式优美比方程式符合实验更为重要，因为差异可能是由于未能适当地考虑一些小问题引起的，而这些小问题将会随着理论的发展得到澄清。假如一个人在进行研究工作时着眼于让方程式优美，假如他具有这样的洞察力，那么他肯定会获得进步。”（15）符号法正是他为追求和谐美而做出的重要发明。“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，对美的真切感受和迫切要求导致了符号法，同样地，只有对美的真切感受和迫切要求才能推动符号法继续向前发展，而这也是当代物理学工作者的迫切任务。
注：

（1）范洪义，《量子力学表象与变换论》，第3页
（2）田舍奴，《科学对审美的贡献—论“科学美”与科学中的美》
（3）石鼓，《音乐与数学》
（4）石鼓，《音乐与数学》
（5）杨振宁，《美与物理学》
（6）杨振宁，《美与物理学》
（7）秦裕芳，《老子文化》，第17页
（8）秦裕芳，《老子文化》，第22页
（9）秦裕芳，《老子文化》，第12页
（10）秦裕芳，《老子文化》，第29页
（11）刘慈欣，《超新星纪元》，第九部分
（12）范洪义，《量子力学表象与变换论》，第9页
（13）刘鹗，《老残游记》，第二回
（14）石鼓，《音乐与数学》
（15）夏雪琴，《物理学的美与大学物理教学》

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